FACTORIZACION

CASOS DE FACTORIZACIÓN

CONCEPTOS GENERALES SOBRE LA FACTORIZACIÓN:

¿Qué es factorizar o factorear un polinomio?

Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto", como también se le llama a la multiplicación). Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de términos (x2 + 3x + 2 por ejemplo), y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).

¿Por qué se llama "factorizar" o factorear?

Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les llama "factores". Por ejemplo, en la multiplicación 2 x 3 = 6 , el 2 y el 3 son los "factores".

En el ejemplo del punto anterior, (x + 2) y (x + 1) son los factores.

¿Para qué sirve factorizar un polinomio?

Por ejemplo, tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para encontrar o visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para analizar la positividad y negatividad de la función, o para encontrar los máximos y/o mínimos. También la factorización de polinomios se puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos límites, resolver ecuaciones polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones trigonométricas, etc. Es decir que nos enseñan a factorizar porque en otros temas de Matemática necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de sumas y restas.

¿Cómo puedo saber si factoricé correctamente?

Multiplicando los factores que obtuvimos tenemos que poder llegar a la misma expresión de sumas y/o restas de la que partimos. No olvidemos que al factorizar estamos obteniendo una expresión equivalente a la original, pero con distinta forma (de multiplicación). Si luego multiplico todos los factores que quedaron en el resultado, tengo que volver "al principio". De esta forma estamos haciendo una "verificación". Por ejemplo:

Factoreo (con el Séptimo caso: Trinomio de segundo grado):

x2 + 3x + 2 = (x + 2).(x + 1)     

Verificación (Multiplicación aplicando la Propiedad distributiva):

(x + 2).(x + 1) =  x2 + x  + 2x + 2 = x2 + 3x + 2    

En casi todos los casos se puede decir que "factorizar es lo contrario de multiplicar" o "factorizar es lo contrario de aplicar la distributiva" (Propiedad distributiva de la multiplicación con la suma).

CASOS:

1) Factor Común (o "Primer Caso")

2) Factor Común en Grupos (o "Segundo Caso")

3) Trinomio Cuadrado Perfecto (o "Tercer Caso")

4) Cuatrinomio Cubo Perfecto (o "Cuarto Caso")

5) Diferencia de Cuadrados (o "Quinto Caso")

6) Sumas o Restas de Potencias de Igual Grado 

(o "Sexto Caso")

7) Trinomio de Segundo Grado (o "Séptimo Caso")

CASO 1:

FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

El factor común es el número 4, el Máximo Común Divisor entre los números.

EXPLICACIÓN:

"Saco" el número 4 multiplicando a un paréntesis (¿por qué el 4?). A eso se le dice "sacar factor común 4". Luego divido a cada término por el número 4, y voy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división. Así:

Primer término: 

8a : 4 = 2a                    este término dió "positivo"

Segundo término:

-4b : 4 = -b                   este término dió "negativo"

Tercer término:

16c : 4 = 4c

Cuarto término:

12d : 4 = 3d                  ( ¿Cómo se hacen estas divisiones? )

De esa manera obtuve cada uno de los términos que puse dentro del paréntesis. Sacar factor común 4 significa "dividir a todos los términos por 4".

Observación: Al dividir todos los términos por un número positivo, todos los términos resultaron con el mismo signo que ya traían.

FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)

El factor común es x2 , la menor potencia con que la x aparece en el polinomio.

EXPLICACIÓN:

Aquí estoy sacando factor común x2, porque es la "x" elevada a la menor potencia con que aparece en este polinomio. Luego divido cada término por x2, recordando que para dividir las letras hay que restar los exponentes.

(Propiedad de las potencias de igual base).

FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 3: (Con fracciones)

El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor potencia.

EXPLICACIÓN:

1) Saco factor común 2/3 x.

¿Por qué 2/3? Cuando hay fracciones, puedo pensarlo así: Saco el factor común entre los numeradores por un lado, y saco el factor común de los denominadores por el otro. El factor común del polinomio será una fracción formada por esos dos factores comunes, en su respectivo orden.

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CASO II

FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

EXPLICACIÓN:

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a  (a + b).

Nota: Para entender este caso, primero hay que saber sacar Factor Común, es decir, saber aplicar el PRIMER CASO DE FACTORIZACION.

FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 2: (Con términos negativos y "Resultado desordenado")

4a - 4b - xb + xa =

4. (a - b) + x. (- b + a) =

4. (a - b) + x. (a - b) =

(a - b).(4 + x)

En el primer paso quedó desordenado, pero luego cambio el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

EXPLICACIÓN:

PASO 1: Agrupación de a dos términos

Agrupo 4a con 4b (ya que entre hay factor común "4" entre ellos) y, por otro lado xb con xa (ya que hay factor común "x" entre ellos).

Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(a - b)

Al sacar factor común x en los dos últimos términos, queda x.(-b + a)

4. (a - b) + x. (-b + a)           (para saber por qué el signo +, consultar en el EJEMPLO 1)

PASO 2: Ordenar los términos

Los resultados de sacar factor común en las dos agrupaciones son iguales, aunque no lo parezca a simple vista:

(a - b) es lo mismo que (-b + a). Se trata de las mismas letras, con el mismo signo cada una, pero en otro orden. Analicemos cada uno:

En (a - b), la "a" es "positiva", y la "b" es "negativa"       (¿por qué la "a" es "positiva"?)

En (-b + a), la "a es "positiva", y la "b" es "negativa"

(más explicación sobre estos "análisis")

Si invierto en orden en (-b + a), me queda (+a - b), que es lo mismo que (a - b), ya que el "+" adelante de la "a" no se pone (¿por qué no se pone el "+"?)

Entonces, como (-b + a) es igual que (a -b), puedo reemplazarlo, y queda:

4. (a - b) + x. (a - b)

PASO 3: Sacar Factor Común (a - b)

Llegamos entonces a la situación normal, vista ya en el PASO 2 de los Ejemplos 1 ó 3. Podemos sacar factor común (a - b)

(a - b).(4 + x)   

EJEMPLO 3: (Agrupando términos no consecutivos)

No siempre se puede agrupar en el orden en que viene el ejercicio. Tiene que haber factor común entre los que agrupamos, y el "resultado" debe dar igual En este caso tuve que agrupar primero con tercero y segundo con cuarto.

EXPLICACIÓN:

PASO 1:

Agrupo 4x2a con 12ax (ya que entre hay factor común "4ax" entre ellos) y, por otro lado agrupo 3y con yx (ya que hay factor común "y" entre ellos).

Al sacar factor común "4ax" en 1er y 3er término, queda 4ax. (x + 3)

Al sacar factor común "y" en los otros dos términos, queda y. (3 + x)

4ax. (x + 3) + y. (3 + x) =

PASO 2:

Los resultados de sacar factor común son iguales pero "desordenados", como ya vimos en ejemplos anteriores (¿desordenados?). Entonces, en este paso ordeno el segundo término. Es decir, pongo (x + 3) en vez de (3 + x):

4ax. (x + 3) + y. (x + 3) =

PASO 3:

Ahora sí se ven iguales los resultados. No queda más que sacar (x + 3) como factor común:

(x + 3). (4ax + y)

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CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Términos positivos)

x²  +  6x  +  9 = (x + 3)²

x                3
      2.3.x
         6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x² y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)² .

EJEMPLO 2: (Con el "1")

x² + 2x + 1 = (x + 1)²

x            1

    2.1.x

      2x

Recordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las bases son: x y 1. La verificación de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x. El resultado es (x + 1)^2.

EJEMPLO 3: (Con fracciones)

x²  +   8/3 x  +  16/9 = (x + 4/3)²

x                      4/3

      2. 4/3 . x

  

      8/3 x

La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3.

EJEMPLO 4: (Con un término negativo)

x²   -  10x   +   25 = (x - 5)²

x                   (-5)

      2.(-5).x 

        -10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)² también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto dá bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))² , que es igual a (x - 5)². 

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CASO IV

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

x³   +   6x²   +   12x   +   8  =  (x + 2)³

x                                  2

         3.x².2     3.x.2²

          6x²         12x

Las bases son x y 2.

Los dos "triple-productos" dan bien (6x² y 12x). El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".

EJEMPLO 2: (Con términos negativos)

x³   -   9x²   +   27x   -   27  =  (x - 3)³

x                                 -3

     3.x².(-3)    3.x.(-3)²

        -9x²          27x

Las bases son x y -3, ya que (-3)³ es igual a -27. Y los dos "triple-productos" dan bien. El resultado es (x + (-3))³, que es igual a (x - 3)³

EJEMPLO 3: (Con todos los términos negativos)

-x³    -    75x    -    15x²    -    125 = (-x - 5)³

-x                                          -5

       3.(-x)².(-5)   3.(-x).(-5)² 

            -15x²        -75x

Las bases son -x y -5, ya que (-x)³ es igual a -x³, y (-5)³ es igual a -125. Los dos "triple-productos" dan con los signos correctos. El resultado es (-x + (-5))³, que es igual a (-x -5)³.

EJEMPLO 4: (Con fracciones)

x³   +   3/2 x²   +   3/4 x   +   1/8 = (x + 1/2)³

x                                        1/2

        3.x². 1/2    3.x.(1/2)²

          3/2 x²       3/4 x

Las bases son x y 1/2, ya que (1/2)³ es igual a 1/8.

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CASO V

DIFERENCIA DE CUADRADOS / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: x2 - 9 = (x + 3).(x - 3) x     3  Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la  "suma de las bases" por la "resta de las bases". EJEMPLO 2: x2 - y2 = (x + y).(x - y) x     y Las dos bases son letras EJEMPLO 3: b2 - 1 = (b + 1).(b - 1) b     1 No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.
EJEMPLO 4: (Con fracciones) x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5) x      3/5 9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5) EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2) x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2) x3   2 x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6

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CASO VI

SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Resta de Potencias Impares)

x³ - 8 = (x - 2).(x² + 2x + 4)

x     2

Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases.

EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

1) x³ es potencia tercera. Entonces, averiguo si 8 es también potencia tercera de algún número. Calculo la raíz tercera de 8, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 3 me dá 8?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que 2³ = 2.2.2 = 8. 

2) "Bajo las bases", que son x y 2. Ya que son las que, elevadas a la tercera, dan x³ y 8.

3) Divido el polinomio (x³ - 8) por el polinomio (x - 2). Porque en la RESTA de potencias IMPARES, debo dividir por la RESTA de las bases. Es decir: RESTA SE DIVIDE POR RESTA. Utilizo el método de Ruffini:

  | 1   0   0  -8
  |
  |
 2|     2   4   8  
    1   2   4  |0

El cociente es entonces: x² + 2x + 4. Y el resto es 0, como debe ser. 

4) Pongo el polinomio por el que dividí: (x - 2), multiplicando al cociente de la división: 

(x² + 2x + 4). Así, queda factorizado x³ - 8:

(x - 2).( x² + 2x + 4) 

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE

POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). 

1) El primer paso es igual que con el otro método: x³ es potencia tercera. Entonces, averiguo si 8 es también potencia tercera de algún número. Calculo la raíz tercera de 8, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 3 me dá 8?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que

2³ = 2.2.2 = 8. 

2) Por ser x³ - 8 una RESTA de potencias IMPARES, tengo que usar la RESTA de la BASES, que son x y 2 Voy "armando" el resultado:

x³ - 8 = (x - 2).(...............)

3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x² y el 2⁰. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("2", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el exponente del 2. Los términos irán todos positivos, porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una RESTA. Me queda así:

x³ - 8 = (x - 2).(x².2⁰ + x¹.2¹ + x⁰.2²)

4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

x³ - 8 = (x - 2).(x².1 + x.2 + 1.4 )

         = (x - 2).(x² + 2x + 4)

EJEMPLO 2: (Suma de Potencias Impares)

x⁵ + 32 = (x + 2).(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)


x        2 


  | 1  0  0  0  0  32
  |
  |
-2|   -2  4 -8  16 -32
    1 -2  4 -8  16 |0

Cociente: x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16

Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 2⁵.

Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: 

(x + 2).  Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini.

Divido (x⁵ + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x + 2).(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división".

Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras.

La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios resultan prácticamente iguales.

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CASO VII

TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO" / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Un primer ejemplo)

x² + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)

x_1,2 = 

a = 1

b = 3

c = 2

x_{1,2 =} 

x₁ =       (con la suma)

x₂ =       (con la resta)

x₁ = -1

x₂ = -2

a. (x - x₁).(x - x₂) = (x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)

Es un "trinomio", pero no es "cuadrado perfecto". Se puede factorizar buscando las "raíces" con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza así: a.(x - x₁).(x - x₂). En este ejemplo "a" es igual 1, entonces no lo ponemos. También hay otro método para factorizarlo, pero no se puede aplicar en cualquier ejemplo. 

EJEMPLO 2: (Con coeficiente principal distinto de "1")

2x² - 3x + 1 = 2.(x - 1).(x - 1/2)

En este ejemplo, el coeficiente principal es 2. No hay que olvidarse de ponerlo en la factorización.

EJEMPLO 3: (Con fracciones)

1/3 x² - 1/3 x - 2 = 1/3. (x - 3).(x + 2)

Los coeficientes son fracciones. Eso puede complicar un poco el cálculo de las raíces. 

EJEMPLO 4: ("No tiene solución en Reales")


x² - 6x + 10 = No se factoriza


Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", queda una raíz cuadrada de un número negativo, que no tiene solución en el Conjunto de los Números Reales. Entonces un ejemplo así no se factoriza.

Para mayor información visite la pagina: 

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/factoreo.htm