APLICACIÓN DE FUNCIONES

APLICACIÓN DE FUNCIONES

FUNCIONES LINEALES DEL COSTO:

EJEMPLO: Una empresa que fabrica un solo producto se interesa en determinar la función que expresa el costo total anual y como una función del número de unidades fabricadas x. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de $50 000. También estiman que los costos de la materia prima para cada unidad producida son $5.50 y los costos de trabajo por unidad son $1.50 en el departamento de ensamble, $0.75 en el cuarto de acabado y $1.25 en el departamento de empaque y distribución.

Tenemos que: 

y = 5.50x + (1.50x + 0.75x + 1.25x) 50 000

Lo que se simplifica como:

y = f (x) = 9x + 50 000

El 9 representa el costo variable combinado por unidad de $9.00. Es decir, por cada unidad adicional producida, el costo total aumentará $9.

FUNCIONES LINEALES DEL INGRESO:

Ejemplo: 

Una agencia local de renta de autos, Hurts Renta-Lemon, trata de competir con algunas empresas nacionales más grandes. La gerencia comprende que a muchos viajeros no les preocupan adornos superficiales como ventanas, tapacubos, radios y calentadores. I. T. Hurts, propietario y presidente de Hurts, ha estado reciclando autos usados para que formen parte de su flotilla. Hurts también simplificó la estructura de tasa de renta al cobrar una tarifa sencilla de $9.95 por día por el uso de un automóvil. El ingreso total del año es una función lineal del número de días de renta de autos de la agencia.

R  =ingreso anual en dólares y d = número de días de renta de autos durante el año.

R = f (d) = 9.95d

FUNCIONES LINEALES DE LA UTILIDAD

Ejemplo:

Una empresa vende un solo producto en $65 por unidad. Los costos variables por unidad son de $20 por materiales y $27.50 por trabajo. Los costos fijos anuales son $100 000. Elabore la función de la utilidad expresada en términos de x, el número de unidades producidas y vendidas. ¿Cuál es la utilidad si las ventas anuales son 20 000 unidades?

Si el producto se vende en $65 por unidad, se calcula el ingreso total utilizando la función lineal.

R(x) = 65x

De modo similar, el costo total anual consiste en costos de materiales, costos de trabajo y costos

fijos:

C(x) = 20x + 27.50x + 100 000

que se reduce a la función lineal del costo

C(x) = 47.50x + 100 000

Por tanto, es posible calcular la función de la utilidad como

P(x) = R(x) - C(x)

        = 65x - (47.50x + 100 000)

       =17.50x - 100 000

Nótese que P(x) es una función lineal. La pendiente de 17.50 indica que para cada unidad adicional producida y vendida, la utilidad aumenta $17.50. Esto se conoce en los negocios y la economía como utilidad marginal (la suma a la utilidad total de la venta de la unidad siguiente).

Si la empresa vende 20 000 unidades durante el año,

P(20 000) = 17.50(20 000) - 100 000

                 = 350 000 - 100 000


                 = 250 000

ANÁLISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

En el análisis del punto de equilibrio el principal objetivo es determinar el punto de equilibrio.

Es posible expresar el punto de equilibrio en términos de 1) volumen de la producción (o nivel de actividad), 2) total de ventas en dólares, o quizás 3) porcentaje de capacidad de producción. Por ejemplo, se puede indicar que una empresa tendrá un punto de equilibrio en 100 000 unidades de producción, cuando el total de ventas es de $2.5 millones o cuando la empresa opera a 60 por ciento de su capacidad. Nos enfocaremos sobre todo en la primera de estas tres maneras.

Los métodos para efectuar el análisis del punto de equilibrio más bien son sencillos y directos, y hay maneras alternativas de determinar el punto de equilibrio. El planteamiento común es el siguiente:

1. Formule el costo total como una función de x, el nivel de producción.

2. Formule el ingreso total como una función de x.

3. Puesto que hay condiciones de equilibrio cuando el ingreso total equivale al costo total, establezca C(x) igual a R(x) y despeje x. El valor resultante de x es el nivel del punto de equilibrio de la producción y se podría expresar como x_BE (x_{Break - Even}; x_{Punto de equilibrio}).

Una alternativa para el paso 3 es elaborar la función de la utilidad P(x)  = R(x) - C(x), establecer P(x) igual a cero y despejar x_BE. El ejemplo siguiente ilustra ambos planteamientos.

EJEMPLO 1:

Un grupo de ingenieros se interesa en formar una compañía para producir detectores de humo. Han desarrollado un diseño y estiman que los costos variables por unidad, incluyendo materiales, trabajo y costos de comercialización son de $22.50. Los costos fijos asociados con la formación, operación y administración de la compañía y la compra de equipo y maquinaria ascienden a un total de $250 000.

Estiman que el precio de venta será de $30 por detector.

a) Determine el número de detectores de humo que se deben vender para que la empresa tenga el punto de equilibrio en el proyecto.

b) Datos mercadotécnicos preliminares indican que la empresa puede esperar vender aproximadamente 30 000 detectores durante la vida del proyecto si los detectores se venden en $30 por unidad.

Determine las utilidades esperadas con este nivel de producción.

EJEMPLO 2:

Si la curva de demanda está dada por la ecuación Qd = 500-10p y la curva de oferta está dada por Qs = 10p-100.

a) Halle la cantidad y precio de equilibrio.

b) Construya las gráficas que muestran el equilibrio.

c) ¿Cómo afecta un impuesto sobre las ventas de 10%?

d) Muestre el efecto del impuesto gráficamente.

e) Determine la incidencia del impuesto, es decir, cuánto del impuesto pagan los consumidores y cuánto los productores.

f) ¿Qué factores influyen sobre el resultado del inciso anterior?

Solución:

a) Halle la cantidad y precio de equilibrio.

En equilibrio Qd = Qs:

500 - 10p = 10p - 100
-10p - 10p = -100 - 500
-20p = -600
p = -600 / -20
p = 30

Se sustituye para hallar Q:

Q = 500 - 10(30) = 500 - 300 = 200

La cantidad de equilibrio es 200 unidades y el precio es ¢30.

b) Construya las gráficas que muestran el equilibrio.

c) ¿Cómo afecta un impuesto sobre las ventas de 10%?

Se modifica la función de la oferta:

Qs = 10(p - 0.10P) -100 = 9p - 100

Obsérvese que el 0.10p representa el impuesto que es 10% del precio y lleva signo negativo porque el impuesto reduce la oferta, no lo aumenta.

Ahora se encuentra el nuevo equilibrio:

9p - 100 = 500 - 10p
9p + 10p = 500 + 100
19p = 600
p = 600/19
p = 31.58

Sustituya (p=31,58) en la ecuación de demanda: Qd = 500-10p

Q = 500 - 10(31.58) = 184.2

El nuevo equilibrio es 184.2 unidades al precio de ¢31.58.

d) Muestre el efecto del impuesto gráficamente.

e) Determine la incidencia del impuesto, es decir, cuánto del impuesto pagan los consumidores y cuánto los productores.

Para responder esta pregunta hay que averiguar primero cuál sería el precio de la cantidad de equilibrio de 184.2 unidades sin el impuesto; lo cual se despeja en la función de oferta original:

184.2 = 10p - 100
p = 28.42

Así que el monto del impuesto por unidad es:

31.58 - 28.42 = 3.16

Esto quiere decir que el gobierno está recaudando:

¢3.16 x 184.2 = ¢582.07

Antes del impuesto el precio era ¢30 y con el impuesto el precio es ¢31.58, así que el consumidor está pagando ¢1.58 de impuesto por unidad, es decir, un total de ¢291.04 (el producto de 1.58 x 184.2). El resto lo están pagando los productores, un total de ¢291.03 (la diferencia de 582.07-291.04).

f) ¿Qué factores influyen sobre el resultado del inciso anterior?

El principal factor que influye sobre la incidencia del impuesto sobre las ventas es la elasticidad precio de la demanda. Mientras más elástica sea la curva de demanda más paga el productor y mientras más inelástica sea más paga el consumidor.

FUNCIÓN CUADRÁTICA APLICACIÓN:

EJEMPLO 1: (Decisiones sobre fijación de precios) La demanda mensual x de cierto artículo al precio de p dólares por unidad está dada por la relación x  =1350  - 45p El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor con la finalidad de obtener una utilidad máxima mensual?.

EJEMPLO 2:

(Equilibrio entre la oferta y la demanda) Se puede estimar el equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda mediante las funciones de oferta y demanda en los dos ejemplos pasados al determinar el precio de mercado que iguala la cantidad surtida con la cantidad demandada. Se expresa esta condición de equilibrio por medio de la ecuación.

Qs=Qd

Sustituimos y nos que da:

EJEMPLO 3:

(Funciones cuadráticas de la oferta) Encuestas de mercado de proveedores de un producto particular han dado lugar a la conclusión de que la función de la oferta tiene una forma aproximadamente cuadrática. Se preguntó a los proveedores qué cantidades estarían dispuestos a surtir con diferentes precios de mercado. Los resultados de la encuesta indicaron que con precios de mercado de $25, $30 y $40, las cantidades que los proveedores estarían dispuestos a ofrecer al mercado eran 112.5, 250.0 y 600.0 (miles) unidades, respectivamente.

Podemos determinar la ecuación de la función cuadrática de la oferta al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general.

EJEMPLO 4:

Se estima que en un terreno si se plantan 200 matas de naranjas, la producción promedio será de 300 naranjas por árbol y que por cada árbol menos que se siembre la producción aumentará en 3 naranjas por árbol.

a) ¿Cuál es el número de árboles que debe plantarse en el terreno a fin de obtener la máxima cosecha posible del terreno?

b) ¿Cuál es la producción máxima posible?